Математика для поступающих в магистратуру 2021 Дифференциальные уравнения Теорема существования и единственности для системы и уравнения n-го порядка. Особые решения. Часть 1
|
|||||
Опубликовал
Научно-техническая олимпиада
для учеников 9–11 классов
-
Простейшие типы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Уравнение с разделяющимися переменными. Пример
- Однородное уравнение. Примеры
- Линейное уравнение первого порядка. Пример
- Уравнение Бернулли. Пример
- Уравнение Риккати. Пример 1
- Уравнение Риккати. Пример 2 (отыскание частного решения и сведение к линейному уравнению)
- Уравнение в полных дифференциалах. Пример
- Уравнение в полных дифференциалах: интегрирующий множитель. Пример
- Некоторые простейшие уравнения, допускающие понижение порядка. Пример 1
- Некоторые простейшие уравнения, допускающие понижение порядка. Пример 2
- Понижение порядка уравнений, не содержащих независимой переменной. Пример
- Понижение порядка уравнений, однородных по у и производным от у. Пример
- Обобщенно однородное уравнение. Пример
- Простейшие типы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Задание 1. Простейшие типы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Тест 1. Простейшие типы обыкновенных ДУ
-
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Структура множества решений уравнения с постоянными коэффициентами
- Решение однородного уравнения. Пример 1 (случай простых действительных корней характеристического уравнения)
- Решение однородного уравнения. Пример 2 (случай кратных действительных корней характеристического уравнения)
- Решение однородного уравнения. Пример 3 (случай простых комплексных кор-ней характеристического уравнения)
- Решение однородного уравнения. Пример 4 (случай кратных комплексных кор-ней характеристического уравнения)
- Частное решение неоднородного уравнения. Отыскание ч.р. методом неопределенных коэффициентов в случае квазимногочлена в правой части. Примеры
- Решение неоднородного уравнения. Пример (случай составной правой части)
- Метод вариации постоянных для линейного уравнения с постоянными коэффициентами
- Метод вариации постоянных для линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Пример
- Уравнение Эйлера. Структура множества решений, характеристическое (определяющее) уравнение
- Уравнение Эйлера. Пример 1 (случай простых действительных корней характеристического уравнения)
- Уравнение Эйлера. Пример 2 (случай простых комплексных корней характеристического уравнения)
- Уравнения с постоянными коэффициентами
- Задание 2. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами.
- Тест 2. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами.
-
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффицентами
- Структура множества решений системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. О фундаментальной системе решений для однородной системы уравнений
- Решение однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Пример 1 (система 2-го порядка, случай простых действительных собственных значений матрицы)
- Решение однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Пример 2 (система 3-го порядка, случай наличия базиса из собственных векторов при кратных действительных собственных значениях матрицы)
- О действительных решениях однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае комплексных собственных значений и собственных векторов матрицы
- Решение однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Пример 3 (система 2-го порядка, случай комплексных собственных значений и собственных векторов матрицы)
- Решение однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Пример 4 (система 3-го порядка, случай действительных и комплексных собственных значений и собственных векторов матрицы)
- Решение однородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами (базис из собственных векторов отсутствует)
- Решение однородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Пример 5 (система 3-го порядка, два собственных значения, два собственных вектора)
- Решение однородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Пример 6 (система 3-го порядка, трёхкратное собственное значение, собственный вектор один)
- Решение однородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Пример 7 (система 3-го порядка, трёхкратное собственное значение, собственных векторов два)
- Решение однородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Матричная экспонента (определение, свойства)
- Решение однородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Построение матричной экспоненты для матрицы в жордановой нормальной форме
- Решение однородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами с помощью матричной экспоненты. Пример 1 (система второго порядка)
- СистемыРешение однородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами с помощью матричной экспоненты. Пример 2 (система третьего порядка) линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Часть 14
- Решение задачи Коши для однородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами с помощью матричной экспоненты. Пример (система третьего порядка)
- Существование решения неоднородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами
- Отыскание частного решения неоднородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных
- Отыскание частного решения неоднородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных. Пример
- Отыскание частного решения неоднородной линейной системы уравнений с вектор-квазимногочленом в правой части. Пример
- Системы уравнений с постоянными коэффициентами
- Задание 3. СЛДУ с постоянными коэффициентами
- Тест 3. СЛДУ с постоянными коэффициентами
-
Теорема существования и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений и для уравнения n-го порядка в нормальном виде. Особые решения
- Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: теорема существования и единственности решения задачи Коши
- Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения
- Уравнение, не разрешенное относительно производной. Исследование на нали-чие особых решений. Пример 1
- Уравнение, не разрешенное относительно производной. Исследование на нали-чие особых решений. Пример 2
- Уравнение, не разрешенное относительно производной. Исследование на нали-чие особых решений. Пример 3
- Задача Коши. Особые решения
- Задание 4. Теорема существования и единственности для нормальных СДУ
- Тест 4. Теорема существования и единственности для нормальных СДУ
-
Системы линейных уравнений с переменными коэффициентами
- Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (структура общего решения, фундаментальная система решений, определитель Вронского)
- Теорема Лиувилля-Остроградского для системы линейных уравнений
- Линейные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами. Определитель Вронского и формула Лиувилля-Остроградского для уравнения n-го порядка
- Формула Лиувилля-Остроградского для уравнения второго порядка. Пример
- Метод вариации постоянных для линейных систем и уравнений n-го порядка с переменными коэффициентами
- Метод вариации постоянных для линейных систем и уравнений n-го порядка с переменными коэффициентами. Пример
- Построение линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений
- Системы с переменными коэффициентами. Уравнения 2-го порядка. Теорема Штурма
- Задание 5. СЛУ с переменными коэффициентами
- Тест 5. СЛУ с переменными коэффициентами
-
Автономные системы дифференциальных уравнений. Положения равновесия, устойчивость
- Автономные системы уравнений 2-го порядка. Поведение фазовых траекторий в окрестности положения равновесия (понятия и определения)
- Фазовые портреты некоторых линейных систем 2-го порядка (случай различных действительных λ1 и λ2 одного знака - узел)
- Фазовые портреты некоторых линейных систем 2-го порядка (случай действительных λ1 и λ2 разного знака - седло)
- Фазовые портреты некоторых линейных систем 2-го порядка (случай комплексно сопряженных λ1 и λ2 - фокус, центр)
- Построение фазового портрета линейной системы 2-го порядка. Пример 1 (неустойчивый узел)
- Построение фазового портрета линейной системы 2-го порядка. Пример 2 (устойчивый фокус)
- Построение фазового портрета линейной системы 2-го порядка. Пример 3 (седло)
- Построение фазового портрета линейной системы 2-го порядка. Пример 4 (центр)
- Фазовые траектории вблизи грубых положений равновесия нелинейных автономных систем 2-го порядка. Пример 1 (одно положение равновесия - седло)
- Фазовые траектории вблизи грубых положений равновесия нелинейных авто-номных систем 2-го порядка. Пример 2 (одно положение равновесия - устойчивый фокус)
- Фазовые траектории вблизи грубых положений равновесия нелинейных автономных систем 2-го порядка. Пример 3 (одно положение равновесия - неустойчивый узел)
- Фазовые траектории вблизи грубых положений равновесия нелинейных автономных систем 2-го порядка. Пример 4 (два положения равновесия - устойчивый фокус и седло)
- Фазовые траектории вблизи грубых положений равновесия нелинейных автономных систем 2-го порядка. Пример 5 (два положения равновесия - неустойчивый фокус и устойчивый узел)
- Фазовые траектории вблизи негрубого положения равновесия нелинейной автономной системы 2-го порядка. Пример с параметром
- Глобальный фазовый портрет нелинейной автономной системы 2-го порядка. Пример с параметром (предельный цикл)
- Положения равновесия
- Задание 6. Автономные СДУ.
- Тест 6. Автономные СДУ
-
Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений и линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка
- Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Определения. Критерий первого интеграла
- Отыскание первого интеграла системы 2-го порядка. Пример
- Теорема о числе независимых первых интегралов
- Исследование первых интегралов на независимость. Пример
- Отыскание первых интегралов системы 3-го порядка. Пример 1
- Отыскание первых интегралов системы 3-го порядка. Пример 2
- Решение системы уравнений 3-го порядка с помощью первых интегралов. Пример
- Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка. Теорема о связи решений уравнения и первых интегралов соответствующей ему системы уравнений
- Решение линейного однородного уравнения с частными производными первого порядка. Пример
- Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. Некоторые понятия и утверждения
- Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. Пример
- Первые интегралы
- Задание 7. Первые интегралы СОДУ и ЛОУ
- Тест 7. Первые интегралы СОДУ и ЛОУ
-
Элементы вариационного исчисления
- Простейшая вариационная задача. Первая вариация
- Простейшая вариационная задача. Лемма Лагранжа. Уравнение Эйлера
- Простейшая вариационная задача. Пример 1 (экстремум есть, приращение функционала является знакоопределенной кв. формой относительно η и η')
- Простейшая вариационная задача. Пример 2 (экстремум есть, приращение функционала является незнакоопределенной кв. формой относительно η и η')
- Простейшая вариационная задача. Пример 3 (экстремума нет)
- Вариационная задача со свободным концом. Необходимые условия экстремума
- Решение вариационной задачи со свободным концом. Пример 1
- Вариационная задача без ограничений. Необходимые условия экстремума
- Решение вариационной задачи без ограничений. Пример
- Элементы вариационного исчисления
- Задание 8. Элементы вариационного исчисления
- Тест 8. Элементы вариационного исчисления
